題目のとおりです。テレビにレコーダー機能があれば、リモコンのレコーダー操作のボタンや「戻る」ボタンでFireTVが操作できます。三菱と日立のテレビで確認しました。このような機能は標準化されているはずなのでどこのメーカーでもできるのではないかと思います。
左がAmazonFireTVのリモコン。
Amazon FireTVは下の図のように、「ネットワークファイルシステム」になっているのでしょう。つまり、ネットワーク越しにハードディスクにアクセスするのです。映画が入ったハードディスクはインターネットのクラウドの中に置いてあるのです。
概念図
通常、FireTVの操作はBlueToothという電波で行います。しかし、そもそも録画機能の付いているテレビでは自前のHDDを操作する（再生、早送り、早戻し、など）機能を内蔵しています。HDDを操作する信号は、HDMI１に切り換えられていれば、そこからFireTVに送られ、インターネットに置いてあるHDDを操作するというわけでしょう。
ただし、FireTVそのものを操作するresetコマンドなどはFireTV独特の機能ですからテレビリモコンからはできません。FireTVの電源を抜けば、リセットされます。
